Разработка математической модели и её решение с использованием метода пространства состояний

При рассмотрении физической системы как объекта исследования или проектирования целесообразно распределить все переменные, характеризующие систему, или имеющие к ней какое-либо отношение на три множества:

1) Входные переменные, характеризующие внешнее воздействие на входы системы.

2) Переменные состояния - внутренние (промежуточные) переменные, совокупность которых полностью характеризует свойства системы.

3) Выходные переменные, представляющие реакцию системы на внешние воздействия и те состояния системы, которые представляют интерес для исследователя.

Собственно система, её входы и выходы - это три взаимосвязанных объекта, которые в каждом конкретном случае однозначно описывают систему. В зависимости от того, какой из объектов подлежит определению при остальных двух заданных различают три типа задач исследования проектирования: анализ, синтез и измерения. Решение любой из этих задач связано с исследованием состояний системы, множество которых образует пространство состояний.

Переменными состояниями динамической системы является минимальный набор переменных или чисел, содержащих информацию о предыстории системы, достаточную для полного определения её поведения в настоящий и будущий момент времени при известных возмущениях, воздействующих в настоящий момент. Они выбираются так, чтобы имели физический смысл.

Выбор переменных состояний не является однозначным, т.е. разные наборы переменных состояний дают разные описания одного объекта. Уравнения, описывающие поведение системы и определяющие всю вышеуказанную информацию, называются уравнениями состояния.

Для схемы устройства, приведенной на рис.2.1, получим выражение для передаточной функции, которая представляет собой отношение выходного сигнала ко входному, преобразованные по Лапласу при начальных нулевых условиях. Для этого составим систему уравнений, используя метод контурных токов.

Рисунок 2.1 - Структурная схема устройства

Составляем уравнения для каждого

Выражаем из системы

Перейдём от передаточной функции W (p) к дифференциальному уравнению.

Представим дифференциальное уравнение во временной области:

или

где: А2=4R2C2A1=6RCA0=1

Полученное дифференциальное уравнение является математической моделью и описывает поведение анализируемого устройства. Решим эту математическую модель с использованием метода пространства состояний.

Уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка. Приведём его к системе уравнений первого порядка и решим эту систему.

Выражаем дифференциальное уравнение относительно старшей производной:

Осуществляем цепочку замен:

Пусть ,

тогда

По полученной системе уравнений сформируем структурную схему нашей математической модели, где операцию интегрирования обозначим с помощью интегратора.

Рисунок 2.2 - Структурная схема алгоритма решения нашего дифференциального уравнения

Запишем матрицу коэффициентов переменных состояний:

На следующем этапе анализа системы составляем строки для подпрограммы, реализующей метод Рунге-Кутта, осуществляем запуск программы и получаем результат в виде числового и графического материала.

Для анализа системы зададимся в исходном случае следующими значениями сопротивления и ёмкости: R = 100 Ом; С = 0,1 Ф.

Тогда коэффициенты в матрице будут иметь следующие значения:

Перейти на страницу: 1 2

Советуем почитать:

Разработка цифрового электропривода продольной подачи токарно-винторезного станка
За последние годы в микроэлектронике бурное развитие получило направление, связанное с выпуском микроконтроллеров, которые предназначены для автоматизации оборудования различного назначе ...

Прием почтовых отправлений с описью вложения
С каменного века начинается история обмена известиями. Тогда информация передавалась дымом костров, ударами в сигнальный барабан, звуками труб. Позже стали посылать гонцов с устными сооб ...

Усилительный каскад с общим эмиттером
Полупроводниковые электронные устройства делятся на два больших класса: аналоговые и цифровые (дискретные). В основе классификации лежит возможность изменения в устройстве электрического ...

Меню



© 2015 TechExternal