Основные принципы вейвлет-преобразования

Вейвлет-преобразование заключается [86 ] в разложение исследуемого сигнала в ряд базисных функций, имеющих специальные свойства. Все функции определенного базиса являются подобными и отличаются только масштабными коэффициентами. Каждая функция базиса имеет свою частоту и локализацию. Волновые базисные функции должны обладать определенными свойствами: интегрируемости и нулевого среднего. Свойство интегрируемости заключается в том, что интеграл по бесконечности от квадрата модуля волновой функции имеет конечное значение. Свойство нулевого среднего требует, чтобы интеграл по бесконечности волновой функции был равен нулю.

Непрерывное вейвлет-преобразование определяется как:

Где: g(,t) - волновая функция,  - означает комплексное сопряжение, x(u) - сигнал.

Наиболее широко используется волновая функция Морлета (Morlet’s wavelet), определяемая как:

Следовательно, можно записать:

Преобразование Фурье равенства (3) является симметричной функцией относительно частоты 0/2a. Поэтому wavelet-преобразование можно рассматривать как частотно-временное с частотой анализа равной 0/2a. Среди множества известных на данный момент волновых функций функция Морлета обладает следующими отличительными свойствами:

Определяется точной аналитической функцией.

Проста для вычисления.

Ее применение ведет к квазинепрерывному представлению.

Любая функция, используемая в качестве волновой функции, должна удовлетворять следующему необходимому условию:

В случае функции Морлета это условие выполнимо для широкого диапазона значений 0.

Другой подход основан на фиксации 0 и модификации g(t) введением дополнительного параметра , что приводит к модифицированной волновой функции:

Таким образом, выбирая малые значения  (1) - что соответствует высокой концентрации энергии во временной области - получают низкое разрешение в частотной области и, наоборот, большие значения  (2) приводят к более высокому разрешению в частотной области (принцип неопределенности). Принимая во внимание это утверждение, для пары значений  (1 и 2) определено модифицированное вейвлет-преобразование, имеющее размерность энергии. Его можно записать как:

где F означает Фурье оператор.

и высокое частотное разрешение.

Для данного значения a (связанного с частотой) параметр  определяет ширину Гаусового окна. Малые значения  улучшают временное разрешение в ущерб спектральному, и наоборот. Интуитивно понятно, что произведение (7) принимает большие значения только тогда, когда оба множителя значительны. Таким образом, получается высокое временное разрешение,

Чтобы получить центральную частоту волновой функции равную 1 Гц при a=1, мы должны принять 0=2 rad/s. В классическом волновом преобразовании параметр a изменяется согласно закону: a=2-. Если  целое, закон называется двоичным. Из равенства (3) следует, что центральная частота также подчиняется двоичному закону, что несовместимо с классическим частотно-временным распределением.

Следовательно, можно переписать определение этого параметра как:

где f - интервал дискретизации по частоте, а n - положительное целое.

Советуем почитать:

Исследование и разработка программ расчета источников вторичного электропитания на ЭВМ
Название темы дипломной работы "Исследование и разработка программ расчета источников вторичного электропитания (ИВЭ) на ЭВМ". Целью работы является исследование способов орган ...

Микроконтроллеры для начинающих. И не только
Микроконтро́ллер (англ. Micro Controller Unit, MCU) – микросхема, предназначенная для управления электронными устройствами. Типичный микроконтроллер сочетает в себе функции пр ...

Управление динамической системой
Теория управления – это наука, изучающая процессы в системах управления с информационной точки зрения, обычно абстрагируясь от физической природы объектов и управляющих устройств. Процес ...

Меню



© 2015 TechExternal